系列导读

习题讲评课，是高三教师最熟悉、也最容易上累的一种课型。一节课下来，教师嗓子发干，学生笔记记满，可下一次考试，同样的错误还会再出现一遍。

讲评课要回答的问题其实只有三个：讲之前做什么，讲的时候由谁来讲，讲完之后怎么收。三个问题连起来，是一句话——从讲一道题，到讲会一类题。

这些想法来自我们工作室“有理化教学”的长期实践。所谓“有理”，是让知识讲得出道理、让学生说得出理由：认知上追求原理通透，过程上追求说理清晰，目标上追求理性自觉；落到课堂，是“问题驱动求理—探究说理达理—系统建构通理—反思评价护理”四步。讲评课不是这四步之外的另一套东西，而恰恰是四步最能落地的一种课型。

考完试的第二天，多数老师的办公桌上都摆着同一份东西：一张写着题号的纸条。第8题错了一半，第14题几乎全错，第19题第三问没人做出来。于是第二天上课，从第8题讲到第19题，一节课刚好讲完，心里也算圆满。

我刚工作那几年，也是这么讲的。后来发现一个问题：这道题讲过了，下次换一道同样考法的题，学生还是错。讲过的题和学生真正学会的东西，中间隔着一层。

问题出在备课的第一步。按题号排，排的是试卷的顺序，不是学生思维出问题的顺序。同一道题，有人是概念没立住，有人是想到了但中途断掉，有人是会做但算错。三种错因混在一个题号里，讲的时候只能讲一个“通用版”，可三拨人其实各有各的缺口。

所以我现在批完卷，先做一件事：不看题号，看错因，把错题分成三类。

第一类，概念未立。学生的表现很典型：定义背得一字不差，换个情境就辨认不出来。比如“增函数”，学生能背“区间内任取x1<x2，都有f(x1)<f(x2)”，可遇到判断f(x)=x+sinx在R上的单调性，他不会想到回到定义或求导去验证，而是凭图像印象。又比如“任意”与“存在”的量词题，学生知道这两个词不一样，可一放进“对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[0,3]，使f(x1)≥g(x2)”这样的表述里，就分不清哪个变量受谁的约束。这不是记性问题，是概念没有真正立起来。这一堆题必须回到概念本身讲，讲清楚它为什么这么定义、这个定义在什么条件下才用得上。

第二类，解题思路中断。学生其实理解了题意，也知道该往哪个方向走，走到一半卡住了。这一堆最有讲的价值，也最难讲，因为断点正是思维的真实位置。教师凭经验猜，往往猜偏。

第三类，审题偏差，以及计算与书写失误。看错“至少”和“至多”，漏了定义域，移项忘了变号，区间端点开闭写错。这一类最让人批卷时上火，但最不值得占课堂时间。用十分钟讲一道算错的题，等于让全班陪着几个学生补作业。这类错，记下来交给课后，靠讲评课解决不了，得靠专门的审题和书写习惯训练。

分完三类，一节课讲什么就有了依据。我的经验是，一节讲评课能讲透的量，比多数人想的要少：两三类题、七八道题，已经是上限。硬讲十几道，每道都“过”了一遍，学生脑子里其实什么也没留下。面面俱到，等于一带而过。

要说清楚一点：分堆不是为了少讲，而是为了把时间放到最该讲的地方。我们讲“有理化教学”，第一重维度是认知上的原理通透——学生不是记住结论，而是知道这个结论从哪儿来、为什么成立。原理不通透的地方，讲十道题也没用；原理一通，后面几道同类题往往自己就会了。

分类还有一样好处，藏在课后。哪个学生错了哪一道题，我批卷时就随手记在名单边上。这张名单，下一篇要用——它决定课堂上由谁开口。

分完类，就进入讲。讲评课上最常见的场面，是教师把一道题讲得清清楚楚：条件怎么用，辅助线怎么添，参数怎么讨论，最后答案是多少。学生一边听一边点头，下了课问他听懂没有，他说听懂了。可下次换一个数字、换一个条件、换一种问法，他又不会。

原因往往不在讲得不细，而在讲完这道题之后，学生手里留下的只是一个答案，不是一个方法。答案只对这道题有效，方法才对一类题有效。

所以我现在每讲完一道题，会多留一分钟，问一句：这一类题的共同结构是什么，通用的方法或规律是什么？这句话不急着由我自己答，先让学生说。学生说得七零八落，正好暴露他有没有把这道题看成“一类题里的一道”。

具体怎么往上提，我习惯用三问。

第一问，关键一步在哪里。学生卡住的地方，往往不是整道题，而是其中某一个转换、某一个判断。以一道含参单调性题为例：已知f(x)=lnx-ax，讨论f(x)的单调性。不少学生写到f′(x)=1/x-a就停住了，接下来不知道要讨论什么。这道题的关键一步不是求导，而是“导数的零点在不在定义域内”：零点在，单调性分两段；零点不在，单调性只有一段。找准这一步，整道题的骨架就出来了。

第二问，这一步靠什么信息找到。题里的哪个条件、哪个词，提示了该往这个方向走。这一问训练的是识别能力。学生不会做题，很多时候不是不会算，而是看不出这道题属于哪一类。上面那道题，提示在三个地方：参数a出现在一次项的系数上，定义域是(0,+∞)带端点，问的是“讨论”而不是“求最值”。有经验的学生看到“讨论”两个字，就知道答案不止一种情形；看到参数在系数上，就知道要拿参数和端点的位置关系作比较。这些不是天赋，是可以教的。

第三问，这类题的边界在哪里。什么情况下方法通，什么情况下不成立。边界不清的学生，会把方法用错地方。还是这道题：如果参数可以分离，比如求“f(x)≥0恒成立”时a的取值范围，那么分离参数、构造新函数求最值，比分类讨论稳当得多；可如果导数的零点是一个解不出来的超越方程，分类讨论也行不通，这时候要设隐零点，设而不求。三种做法各有各的适用条件，学生只学会一种，遇到另外两种就懵。把边界讲清楚，等于给学生三把钥匙，而不是一把钥匙硬开三把锁。

三问说完，一道题就从一道特例，变成了一条经验。这条经验是可以带走的。

讲完还得验。验的办法有两种，按题目的分量选。一般的题，把原题条件改一改，或者换个情境，让学生现场判断：这题属于哪一类，第一步该做什么。重要的题，提前备好同类题，讲完当堂做，当堂对。这一步看着费时间，其实是唯一的证据——学生说“会了”不算数，他在新题上做出来了才算数。

也有老师担心：这样讲，一道题要花十几分钟，进度怎么办？我的体会是，一道题讲透，抵得上三道题讲完。这一重，我们工作室叫“系统建构通理”——不是把知识点一个个塞给学生，而是让学生把散落的题串成结构。结构一旦成形，新题进来就有位置可放。